En este capítulo, Wardhaugh quiere poner de relieve la importancia que tuvo Elementos de Euclides en las artes decorativas persas e islámicas y, con ello, la simbiosis que se dio en este caso entre la teoría y la práctica.
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Ahora toca examinar la tercera ley de Kepler, una ley con la que quedará establecida de una manera clara la relación existente entre el Sol y el movimiento de los planetas que giran a su alrededor.
El autor de las «Infinitas vidas de Euclides» nos propone en este capítulo reflexionar sobre la relación entre la teoría y la práctica en cuanto a la geometría euclidiana se refiere. Veamos cómo se vincula la agrimensura romana con la geometría de Elementos.
Estamos en la Roma del 100 d.C. En el contexto de las colonias, tenemos a un agrimensor llamado Higino que se dedica a la parcelación de tierras. También se encarga de registrar las propiedades y de aquellas parcelas que se sortean, se encarga de llevar a los nuevos colonos a su correspondiente parcela para evitar errores y disputas. El instrumento de medición que utiliza es la “groma”, una vara vertical de madera sobre la que se sostiene una cruz horizontal de metal con una plomada colgando en cada extremo. Los romanos, como es bien sabido, fueron constructores de grandes obras de ingeniería —carreteras, acueductos, etcétera— y todas esas obras dependían de una precisa medición de la tierra sobre la que se alzaban las construcciones. Por ello había en Roma una tradición de agrimensores. Éstos eran unos profesionales que estaban bien equipados y utilizaban la “groma” para establecer líneas rectas, cuadrados y rectángulos, pero no así para medir ángulos. De hecho, no utilizaban la trigonometría. Los agrimensores, por tanto, eran medidores de la tierra y formaban un colectivo profesional muy respetado y apreciado. De hecho, se les confiaba unas funciones cuasi judiciales. Sin embargo, pocos agrimensores están citados individualmente, pero Higino es una excepción. Higino escribió acerca de cómo establecer límites, cómo indicar diferentes tipos de tierras en los mapas y cómo resolver disputas de tierras.
Entre los siglos IV y V se publicó una colección de textos de agrimensura, entre los que estaban los Higino. Esta colección de textos de agrimensura fue llamado “Corpus agrimensorum”. Es un compendio con definiciones geométricas muy similares a las que encontramos en el libro I de Elementos. También contiene ilustraciones, desde simples diagramas geométricos hasta imágenes complejas con carreteras, árboles, edificios, etcétera. Se ilustran técnicas y resultados de la agrimensura practicada en el Bajo Imperio. Este manuscrito fue copiado numerosas veces en monasterios de la Europa merovingia y carolingia, pero estas copias, a causa del lenguaje complejo y técnico utilizado en el referido compendio, introdujeron errores y una degeneración de ciertos diagramas. Por añadidura, el sistema de agrimensura romana no fue aplicada en la Edad Media porque estaba pensada para campos abiertos, lo que no había, por decir así, en el medievo. Por ello, la “groma” pasó en la Edad Media a la historia.
En cuanto al “Corpus agrimensorum” en relación con Elementos, ¿qué podemos decir? Empecemos diciendo que no ha sobrevivido ninguna versión completa en latín de época romana de Elementos, sobre todo porque no era una obra popular en Roma entre los siglos V y VI. Con todo, se escribió un resumen sin demostraciones que de Elementos que ha sido asociado tradicionalmente a Boecio. Este resumen en la Edad Media estuvo vinculado al “Corpus agrimensorum”. En las primeras escuelas y monasterios del medievo se formó una nueva disciplina, la geometría, cuyos textos básicos se atribuían a veces a Euclides y otras veces a Boecio. De hecho, se tomaban partes del referido resumen de Elementos atribuido a Boecio y también del “Corpus agrimensorum”. Lo cierto es que la geometría era concebida para un uso teórico. El cristianismo consideraba la geometría una preparación para la teología, lo que es parecido al caso de Platón y Proclo en cuanto a su concepción de la geometría en relación con la filosofía. La geometría constituía, dicho en pocas palabras, una base de certeza y estabilidad. Pero además, en el Antiguo Testamento encontramos pasajes donde se presenta a Dios como un geómetra o agrimensor. Por ello, el aprendizaje de geometría se consideraba en este ambiente cristiano una suerte de aproximación a Dios.
La disciplina ordenada y bien delimitada del agrimensor se convirtió en una metáfora de un cosmos ordenado y la ciencia de la geometría, una imagen del acto de creación.
Los Abassíes llegan al poder en el año 750. Ahora el «centro del mundo» es Bagdad y «Elementos» se traduce al árabe.
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Pasemos a ver cómo Aristarco de Samos mide el mundo y, en concreto, el tamaño de la Luna respecto a la Tierra y la distancia que hay entre la Tierra y la Luna.
Hablemos de Elementos, la obra de Euclides que marca la historia de las matemáticas. Vayamos, tal como sugiere Wardhaugh en su “Las inifinitas vidas de Euclides”, a aquella Alejandría de los Ptolomeos para descubrir ahí un mundo singular donde el saber teórico griego se convertirá en el faro de la ciencia especulativa.
Veamos la contribución que hicieron Platón y Aristóteles a la matemática griega. Además, hablemos del “método axiomático” de “Elementos” de Euclides. En la presente publicación está disponible un documento de audio que explica este tema y, además, se incluye el documento PDF donde se detallan todas las cuestiones que vamos a tratar sobre las matemáticas y la astronomía en el mundo griego. Además, este documento incluye una síntesis de «Las infinitas vidas de Euclides» de Wardhaugh, B.
A mediados del siglo V Proclo Diádoco1 era el director de la escuela platónica en Atenas. En la Academia estaba instalada la creencia de que Elementos era un importante recurso filosófico. Proclo, desde su posición neoplatónica, concebía la realidad en tres niveles, siendo uno de estos niveles el lugar en el que “habitaban” los objetos matemáticos2:
En cuanto a Elementos –Los miembros de la Academia consideraban que la obra de Euclides estaba inspirada por Platón– , que era algo así como una puerta de acceso a ese mundo intermedio, Proclo observaba algunas debilidades en el tratado de Euclides. Su idea de proposición geométrica era más pulcra y elaborada que la de Elementos –a veces, por ejemplo, aparecen en Elementos algunas demostraciones que no son nada ordenadas; también tiene saltos lógicos y suposiciones no específicas que el mismo Proclo advirtió–. Los intentos de Proclo de arreglar estas debilidades abrieron la puerta a una investigación posterior que duraría siglos y que sería muy fructífera.
1«Desde comienzos del siglo v encontramos al neoplatonismo instalado en la propia “Academia” de Atenas. Tras Plutarco de Atenas y Siriano, recae en Proclo, que había sido sido discípulo de ambos, la condición de διάδοχος (“sucesor”).» (Marzoa, F. M., Historia de la filosofía I, p. Akal, 2010, p. 254).
2Este lugar intermedio que ocupan las matemáticas también fue concebido por Platón: «Matemáticas: Ocupa un lugar intermedio entre el mundo de la δόξα y el de la ciencia perfecta (νόησις). En este ámbito se desarrolla la astronomía. Según Aristóteles, Platón en su enseñanza oral (ἄγραφα δόγματα) habría colocado entre los seres sensibles y el mundo de las Ideas un plano intermedio (entidades reales y subsistentes a la manera pitagórica).» (Moa, F., De Tales a Aristóteles: Lo esencial, 2021, p. 94)
En el diálogo Menón de Platón, Sócrates mantiene un diálogo –sistema de preguntas y respuestas– con un eslavo, logrando el filósofo que aquél manifieste un conocimiento que ya estaba latente en su alma (teoría de la reminiscencia platónica1). El objetivo de Platón en este diálogo no es otro que discutir el origen del conocimiento. Pero más allá de este objetivo, con este diálogo tenemos ante nosotros el único testimonio de la antigua Grecia que nos informa de cómo se desarrollaba un procedimiento geométrico para llegar a ciertas verdades: haciendo representaciones a través de diagramas a partir de los que se van deduciendo cosas sobre ellos.
Es evidente la importancia que tenía la geometría en la filosofía de Platón: la geometría la consideraba una fuente de ideas y ejemplos en su filosofía. Ahora bien, en el filósofo ateniense no concebía la geometría como un fin en sí mismo, sino como un medio para avanzar en el pensamiento filosófico. Lo cierto es que se exageró el interés de Platón por la geometría a lo largo de la historia2. Históricamente –durante más de dos mil años– se ha vinculado Euclides con Platón y esta vinculación ha resultado estar fundamentada con una confusión, a saber: creer que Euclides de Mégara era el Euclides de Elementos.
Sócrates marcó acaso de un modo inconsciente el inicio del culmen de la filosofía griega. A partir de sus enseñanzas emergieron diferentes escuelas, algunas de ellas antagónicas entre sí, lo cual no es de extrañar dada la compleja y “manipulada” figura de Sócrates. Fundaron escuelas Platón, Fedón, Antístenes, Aristipo y Euclides.[…]La fundó
[la escuela megárica] Euclides de Megara. Combina la doctrina socrática con la de Parménides, es decir, el Bien socrático con el ser del eleata. Busca con ello un fundamento ontológico de la moral.3
1«Lo propio del alma es el pensamiento. El alma se pone en relación con las realidades inteligibles, esto es, con las Ideas. Hay parentesco entre las almas y las Ideas. El alma es una realidad eterna, concreta e invisible que participa de la Idea de Vida (ζωῆς εἶδος). Tal eternidad le otorga su estatus de preexistencia respecto al cuerpo y la posibilidad de la reminiscencia.» (Moa, F., De Tales a Aristóteles: Lo esencial, 2021, pp. 110-111).
2La tradición habla de una inscripción que figuraba en la entrada de la Academia que rezaba: ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω (Nadie ignorante en geometría entre aquí).
3Moa, F., De Tales a Aristóteles: Lo esencial, 2021, p. 72 y p.74.
Edward Bernard (1638–1697) se convirtió en profesor de Astronomía de la Universad de Oxford. En ese momento Oxford era uno de los pocos lugares donde se podían encontrar manuscritos de Elementos en griego, árabe y latín. Y el profesor Bernard tenía un sueño, a saber, publicar una nueva edición del libro de Euclides. Esta nueva edición tenía que constituirse, a juicio del profesor, a partir de una unificación de diferentes ediciones antiguas en griego, latín y árabe. Pero el sueño del profesor no se cumplió, pues resultó ser su Elementos políglota, demasiado complejo para hacerse realidad
Después de la muerte de Bernard, la vacante que había dejado fue ocupada por David Gregory, quien publicó, tiempo después, un Elementos en griego y latín, sirviéndose, entre otros recursos, de los trabajos que había realizado Bernard. La edición de Gregory era una versión reducida que en poco (o casi nada) se podía identificar con el sueño de Bernard.
Uno de sus escasos ornamentos era una ilustración en la portada que mostraba a Minerva con su escudo, casco y lanza ante un panorama de Oxford […]1
1Wardhaugh, B., Las infinitas vidas de Euclides, Shackleton, 2020, p. 116.
F. Moa 